Savršen broj je prirodan broj koji je jednak zbiru svojih pozitivnih delilaca, uključujući i broj 1, ali ne računajući sam taj broj. Prva četiri savršena broja poznata su od davnina, proučavali su ih pitagorejci još u VI veku pre n. e., a najraniji matematički zapis o savršenim brojevima pojavio se u Euklidovom delu Elementi, oko 300. pre n. e. Prva četiri savršena broja su:

• 6 = 1 + 2 + 3
• 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
• 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
• 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Peti savršen broj, koji je otkriven 1456. godine, jeste 33 550 336. Do sada je otkriveno samo 49 savršenih brojeva, a poslednji od njih, koji je pronađen 7. januara 2016, u svom zapisu ima 44 677 235 cifara. Još nije poznato koliko ima savršenih brojeva – do sada nije utvrđeno da li ih ima beskonačno mnogo ili pak samo konačan broj.

Euklid je u svojoj knjizi pokazao da su do tada otkriveni savršeni brojevi oblika:

2^p−1 · (2^p − 1)

Pri tome, 2^p − 1 mora biti prost broj, a da bi to bio slučaj p mora biti prost broj. Na primer, prvih pet savršenih brojeva dobijaju se prema toj formuli na sledeći način:

• za p = 2:
2²⁻¹ · (2² − 1) = 2 · 3 = 6

• za p = 3:
2³⁻¹ · (2³ − 1) = 4 · 7 = 28

• za p = 5:
2⁵⁻¹ · (2⁵ − 1) = 16 · 31 = 496

• za p = 7:
2⁷⁻¹ · (2⁷ − 1) = 64 · 127 = 8128

• za p = 13:
2¹³⁻¹ · (2¹³ − 1) = 4096 · 8191 = 33550336